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By Matthias Wendt

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Hier betrachten wir nur noch die Zerlegung von Primzahlen in quadratischen Erweiterungen von Z. 4 Beispiel: Quadratische Zahlk¨ orper √ Wir betrachten quadratische Zahlk¨orper K = Q( d). Es soll nun darum gehen, die Zerlegung von Idealen I ⊆ OK in Primideale am Beispiel zu verstehen. Die interessantesten Ideale sind dabei von der Form (p) mit p ∈ Z eine Primzahl. 20 gesehen, wie das geht. Zuerst geben wir eine Pr¨asentation des Ganzheitsrings an. 21. Sei d quadratfrei, und origen √ OK der Ganzheitsring des dazugeh¨ quadratischen Zahlk¨ orpers K = Q( d).

Sei f (X) ein quadratfreies Polynom, das ein Produkt von irreduziblen Faktoren vom Grad d ist. (i) Sei p ungerade. F¨ ur jedes beliebige Polynom T (X) ∈ Fp [X] ist f (X) = ggT (f (X), T (X)) · ggT (f (X), T (X)(p d −1)/2 + 1) · ggT (f (X), T (X)(p d −1)/2 − 1). (ii) Sei p = 2. F¨ ur jedes Polynom T (X) ist 2d−1 2d−1 i T (X)i + 1). T (X) ) · ggT (f (X), f (X) = ggT (f (X), i=1 i=1 d Beweis. (i) Die Elemente von Fpd sind genau die L¨osungen von X p − X. Ofd fensichtlich sind die Elemente von Fpd auch L¨osungen von T (X)p − T (X), also d d X p − X | T (X)p − T (X).

Folgern Sie daraus die Behauptung. 4. Sei f : A → B ein Ringhomomorphismus. Zeigen Sie die folgenden Aussagen: (i) Sei a ∈ A nilpotent. Dann ist a ∈ p f¨ ur alle Primideale p. (ii) Sei p ⊆ B prim. Dann ist f −1 (p) prim. Gilt die Umkehrung von (i)? Gilt (ii) auch f¨ ur maximale Ideale? 5. Sei R ein Ring und I ⊆ R ein Ideal. Zeigen Sie, daß es eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Ideale von A/I und Menge der Ideale von R, die I enthalten. Zeigen Sie, daß dies auch f¨ ur Primideale gilt.

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Algebraische Zahlentheorie [Lecture notes] by Matthias Wendt

by Charles

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